Многоугольник — Математика 1 класс (Моро)

Краткое описание:

Вы уже многое знаете о геометрии, но, наверное, хотите знать еще больше. Поэтому наше путешествие в удивительную страну Геометрию продолжается. Вам хорошо знакома такая фигура, как отрезок. А что получится, если три отрезка соединятся между собой? Верно, получится ломаная линия. Вы, конечно же, помните, что ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Если три отрезка соединить в замкнутую ломаную линию, то получится … Догадались? Получится треугольник. А можно ли получить другие фигуры из ломаной линии? Конечно, можно! Все зависит от количества звеньев ломаной линии. Так, например, если звеньев будет четыре, то получится четырехугольник, пять звеньев – пятиугольник и так далее. А теперь подумайте, как мы можем назвать одним словом фигуры, образованные замкнутой ломаной линией? Воспользуйтесь подсказкой: у всех этих фигур звенья образуют разное количество углов. Такие фигуры мы назовем многоугольниками. Многоугольники встречаются вас на каждом шагу. Так, крышка парты – это четырехугольник, некоторые дорожные знаки – треугольники, клумбы могут пятиугольниками, шестиугольниками. Тема «Многоугольники» неисчерпаема. Вы встретитесь с ней не только в первом классе, но и будете постоянно встречаться с ней все время, пока обучаетесь в школе. Подружитесь с многоугольниками!

Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.

Определение 1

Многоугольник

— это фигура, составленная из отрезков

так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Определение 2

Многоугольником называется простая замкнутая .

Точки

называются вершинами многоугольника , отрезки

— сторонами многоугольника .

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника .

Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником .

Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским . Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.

Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними . Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.

Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .

Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.

Из каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали

(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).

Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.

Следовательно, n — угольник имеет

диагонали.

Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Многоугольник — Математика 1 класс (Моро)

Краткое описание:

Вы уже многое знаете о геометрии, но, наверное, хотите знать еще больше. Поэтому наше путешествие в удивительную страну Геометрию продолжается. Вам хорошо знакома такая фигура, как отрезок. А что получится, если три отрезка соединятся между собой? Верно, получится ломаная линия. Вы, конечно же, помните, что ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Если три отрезка соединить в замкнутую ломаную линию, то получится … Догадались? Получится треугольник. А можно ли получить другие фигуры из ломаной линии? Конечно, можно! Все зависит от количества звеньев ломаной линии. Так, например, если звеньев будет четыре, то получится четырехугольник, пять звеньев – пятиугольник и так далее. А теперь подумайте, как мы можем назвать одним словом фигуры, образованные замкнутой ломаной линией? Воспользуйтесь подсказкой: у всех этих фигур звенья образуют разное количество углов. Такие фигуры мы назовем многоугольниками. Многоугольники встречаются вас на каждом шагу. Так, крышка парты – это четырехугольник, некоторые дорожные знаки – треугольники, клумбы могут пятиугольниками, шестиугольниками. Тема «Многоугольники» неисчерпаема. Вы встретитесь с ней не только в первом классе, но и будете постоянно встречаться с ней все время, пока обучаетесь в школе. Подружитесь с многоугольниками!

До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников - треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов - фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями , а концы этих отрезков - вершинами ломаной . Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной . Концы ломаной ABCD ... FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой , и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником , её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника .

Рис. 150

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 .

Рис. 151

Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С 1 C 5 и С 2 С 3 (а также С 3 С 4 и С 1 C 5) имеют общую точку.

Рис. 152

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними . Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней , а другая - внешней областью многоугольника .

На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Рис. 153

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

На рисунке 154 многоугольник F 1 является выпуклым, а многоугольник F 2 - невыпуклым.

Рис. 154

Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображённый на рисунке 155,а. Углы А n А 1 А 2 , А 1 А 2 А 3 , ..., А n-1 А n А 1 называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму.

Рис. 155

Для этого соединим диагоналями вершину А 1 с другими вершинами. В результате получим n - 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника АхАг... Аn равна (n - 2) 180°.

Итак, сумма углов выпуклого п.-угольника равна (n - 2) 180° .

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А 1 А 2 ... А n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

180° - А 1 + 180° - А 2 + ... + 180° - А n =
= n 180° - (A 1 + А 2 +... + А n) =
= п 180° - (n - 2) 180° = 360°.

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° .

Четырёхугольник

Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными .

Рис. 156

Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, о изображён выпуклый четырёхугольник, а на рисунке 156, б - невыпуклый.

Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 156, б).

Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) 180°, то сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360° .

Задачи

363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?

364. Найдите сумму углов выпуклого:

а) пятиугольника;
б) шестиугольника;
в) десятиугольника.

365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:

а) 90°;
б) 60°;
в) 120°;
г) 108°?

366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая - в три раза больше второй.

368. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, a AD = 135°.

370. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Ответы к задачам

364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°.

365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять.

366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.

367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см.

368. 90°. 369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.

Многоугольники 1. Что такое многоугольник? 2. Какая зависимость существует между числом вершин, числом углов и числом сторон многоугольника? Ответ: число вершин многоугольника равно числу его сторон и числу его углов. 3. Чем отличается друг от друга два пятиугольника и два шестиугольника? 4. Какой многоугольник называется правильным? Ответ: многоугольник называется правильным, если все стороны и все углы у него равны. Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник Неправильный пятиугольник Неправильный шестиугольник

5. Какие правильные многоугольники мы уже изучали, назовите их свойства? 6. Чем отличаются многоугольники, изображенные на рисунке 1, от многоугольников, изображенных на рисунке 2? Рисунок 1 Рисунок 2 Выпуклые многоугольники Невыпуклые многоугольники (вогнутые) Ответ: если весь многоугольник лежит по одну сторону от любой из его сторон, то он в вв выпуклый, если нет, то в вв вогнутый. 7. Что такое диагональ многоугольника? 8. Начертите два четырехугольника, проведите их диагонали. 9. Что вы заметили? Ответ: выпуклый многоугольник содержит все свои диагонали, вогнутый – не все!

Домашнее задание 1. Выучить записи в тетради Выполнить задания 15 и 18 на стр.82, все начертить в домашней тетради! Дополнительное задание Рабочая тетрадь 3, стр. 38, задания 29 и 30

Решение задач 1. Является ли шестиугольник, изображенный на рисунке 1, правильным? Рис Является ли восьмиугольник, изображенный на рисунке 2, правильным, а треугольник? Рисунок 3 v vv v v 2. Определите, какие из многоугольников, представленных на рисунке 3, являются выпуклыми, а какие вогнутыми. Рис. 2

4. Сколько диагоналей имеет треугольник? 5. Сколько диагоналей имеет четырехугольник? 6. Сколько диагоналей имеет пятиугольник? 7. Сколько диагоналей имеет шестиугольник? 8. Существует ли многоугольник, число диагоналей которого равно числу его сторон? Решение задач Нет диагоналей Две диагонали Пять диагоналей Девять диагоналей Пятиугольник!